y=ax^2 PARABOLA  VA  x^2+(y-b)^2=R^2  AYLANA  FUNKSIYALARINING O’ZARO JOYLASHUVI

Abdulazizova Gulbahor Rustamjon qizi

doi:10.5281/zenodo.21059084

25.06.2026

Oʻzbekcha

y=ax^2 PARABOLA VA x^2+(y-b)^2=R^2 AYLANA FUNKSIYALARINING O’ZARO JOYLASHUVI

Published

25.06.2026

Journal

Ta'lim ufqlari

Issue

"Ta'lim ufqlari" ilmiy-uslubiy jurnali 2026-yil 1-son

Pages

87-91

DOI

10.5281/zenodo.21059084

Authors

Abdulazizova Gulbahor Rustamjon qizi

Abstract

Ushbu maqolada kvadratik funksiya va aylana tenglamasining o’zaro kesishish shartlari algebraik va geometrik usullar yordamida tadqiq etilgan. Tatqiqot davomida tizimli tenglamalar bikvadrat ko’rinishga keltirilib, diskriminant va viyet teoremasi asosida tahlil qilingan. Maqolada funksiyalarning parametrlariga ( a, b , R) bog’liq ravishda umumiy nuqtalar soni 1 ta , 2 ta, 3 ta va 4 ta bo’lishining aniq matematik shartlari keltirilgan . Shuningdek , aylananing parabola ichida joylashishi va urinish nuqtalarining kritik qiymatlari asoslab berilgan . Olingan natijalar murakkab geometrik masalalarni yechishda va funksional bog’liqliklarni o’rganishda amaliy ahamiyatga ega.

Keywords

Matematik analiz aylana bikvadrat tenglama diskriminant geometrik optimallash kesishish nuqtalari parabola parametrli tahlil

Other language versions

Русский

Mathematical Analysis, parabola circle points of intersection, biquadratic equation, discriminant, parametric analysis, geometric optimization

В данной статье исследуются условия взаимного пересечения квадратичной функции и уравнения окружности с использованием алгебраических и геометрических методов. В ходе исследования системы уравнений приводятся к биквадратному виду и анализируются на основе дискриминанта и теоремы Виета. В работе выведены точные математические условия, при которых количество общих точек в зависимости от параметров функций (a, b, R) может составлять 1, 2, 3 или 4. Также обосновано расположение окружности внутри параболы и определены критические значения точек касания. Полученные результаты имеют практическое значение при решении сложных геометрических задач и изучении функциональных зависимостей

биквадратное уравнение геометрическая оптимизация дискриминант математический анализ окружность парабола параметрический анализ точки пересечения

English

ANALYSIS OF THE RELATIVE POSITION AND THE NUMBER OF COMMON POINTS OF THE FUNCTIONS Y=Ax^2 and x^2+ 〖(y-b)〗^2 =R^2

This arcticle investigates the intersection conditions of a quadratic function and a circle equation using algebraic and geometric methods . In the course of the study , the system of equations was reduced to a biquadratic form and analyed based on the discriminant and vieta’s theorem . The article presents precise mathematical conditions for the number of common points to be 1, 2, 3 or 4 depending on the parameters ( a, b, R) of the functions . Furthermore, the critical values for the functions. Furthermore, the critical values for the circle’s placement within the parabola and the tangency points are substantiated. The results obtained are of practical importance in solving complex geometric problems and studying functional dependencies.

Mathematical Analysis biquadratic equation discriminant geometric optimization parabola circle points of intersection parametric analysis

References

1. Umirzaqova, K. O. (2020). PERIODIC GIBBS MEASURES FOR HARD-CORE MODEL. Scientific Bulletin of Namangan State University, 2(3), 67-73.

2. qizi Abdugʻapporova, M. N. (2025). PARABOLAGA ICHKI CHIZILGAN OʻZARO URINUVCHI AYLANALAR. RESEARCH AND EDUCATION, 4(12), 154-159.

3. Xakimov, R. M. (2019). IMPROVEMENT OF ONE RESULT FOR THE POTTS MODEL ON THE CALEY TREE. Scientific and Technical Journal of Namangan Institute of Engineering and Technology, 1(6), 3-8.

4. O‘G, O. K. I. Q., O‘G‘Li, J. A. H., & O‘G, H. T. X. D. (2024). FUNKSIONAL QATORNI HADLAB INTEGRALLASH VA DIFFERENSIALLASHDAN FOYDALANIB BA’ZI BIR SONLI QATORLAR YIG ‘INDISINI TOPISH METODLARI. Science and innovation, 3(Special Issue 57), 411-416.

5. O‘G, O. K. I. Q., Qizi, N. M. S. N., & Qizi, A. M. O. A. (2024). TEYLOR QATORI YORDAMIDA BA’ZI BIR SONLI QATORLARNING YIG ‘INDISINI TOPISH USULLARI. Science and innovation, 3(Special Issue 57), 275-277.

View PDF