EULER ELASTIKASI NOAN’ANAVIY ELASTIKLIK NAZARIYASIDA

Doniyorov Nodir; Eshmo‘minov Aziz; Quvondiqova Nozima; Xudoyberdiyeva Malika

doi:10.5281/zenodo.21058239

25.06.2026

Oʻzbekcha

EULER ELASTIKASI NOAN’ANAVIY ELASTIKLIK NAZARIYASIDA

Nashr sanasi

25.06.2026

Jurnal

Ta'lim ufqlari

Nashr

"Ta'lim ufqlari" ilmiy-uslubiy jurnali 2026-yil 1-son

Sahifalar

26-29

DOI

10.5281/zenodo.21058239

Mualliflar

Doniyorov Nodir , Eshmo‘minov Aziz , Quvondiqova Nozima , Xudoyberdiyeva Malika

Annotatsiya

Mazkur ishda Euler–Bernoulli nazariyasiga asoslangan elastik chiziq modeli hamda uning nolokal (Eringen tipidagi) modifikatsiyasi ko‘rib chiqiladi. Lokal elastiklik modeli doirasida egilish momenti va egrilik o‘rtasidagi bog‘lanishdan foydalanib, Euler elastikasi uchun bosh differensial tenglama keltirib chiqariladi. Ushbu nochiziqli ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama bir marta integrallash orqali birinchi integralga keltiriladi va Yakobi elliptik funksiyalari hamda birinchi va ikkinchi turdagi to‘liq bo‘lmagan elliptik integrallar yordamida aniq analitik yechim olinadi. Keyinchalik kichik o‘lchamli effektlarni hisobga oluvchi Eringen nolokal elastiklik nazariyasi asosida konstitutiv bog‘lanish modifikatsiya qilinadi. Natijada lokal modelning umumlashgan ko‘rinishi olinadi va yangi bosh tenglama chiqariladi. Ushbu tenglama ham integrallash yo‘li bilan elliptik integrallar orqali bilvosita parametrik ko‘rinishda ifodalanadi. Olingan natijalar nano-balkalar va nanotuzilmalarning deformatsiyasini aniqlashda qo‘llanilishi mumkin.

Kalit so‘zlar

Daniel Bernoulli balkasi Euler elastikasi Leonhard Euler nazariyasi Yakobi elliptik funksiyalari egilish momenti egrilik lokal elastiklik mexanik muvozanat nolokal elastiklik to‘liq bo‘lmagan elliptik integrallar

Boshqa tillardagi variantlar

Русский

В данной статье рассматривается модель упругой линии, основанная на теории Эйлера-Бернулли, и ее нелокальная (типа Эрингена) модификация. В рамках локальной модели упругости, используя соотношение между изгибающим моментом и кривизной, выводится основное дифференциальное уравнение для упругости Эйлера. Это нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка сводится к первому интегралу с помощью одного интегрирования, и получается точное аналитическое решение с использованием эллиптических функций Якоби и эллиптических интегралов первого и второго рода. Затем конститутивное соотношение модифицируется на основе нелокальной теории упругости Эрингена, которая учитывает мелкомасштабные эффекты. В результате получается обобщенная форма локальной модели и выводится новое определяющее уравнение. Это уравнение также выражается в параметрической форме, неявно через эллиптические интегралы посредством интегрирования. Полученные результаты могут быть использованы для определения деформации нанобалок и наноструктур.

балка Даниэля Бернулли балка Эйлера изгибающий момент кривизна локальная упругость механическое равновесие нелокальная упругость неполные эллиптические интегралы теория Леонарда Эйлера эллиптические функции Якоби

English

This work examines the elastic line model based on the Euler–Bernoulli theory and its nonlocal (Eringen-type) modification. Within the local elasticity model, by employing the relationship between the bending moment and curvature, the governing differential equation for Euler elasticity is derived. This nonlinear second-order ordinary differential equation is reduced to a first integral by a single integration, and an exact analytical solution is obtained using Jacobi elliptic functions and elliptic integrals of the first and second kind. Subsequently, the constitutive relation is modified based on Eringen’s nonlocal elasticity theory that accounts for small-scale effects. As a result, a generalized form of the local model is obtained and a new governing equation is derived. This equation is also expressed in a parametric form via elliptic integrals by integration. The obtained results can be used to determine the deformation of nano-beams and nanostructures.

Daniel Bernoulli beam Euler beam Jacobi elliptic functions Leonhard Euler’s theory bending moment curvature incomplete elliptic integrals local elasticity mechanical equilibrium nonlocal elasticity

Foydalanilgan adabiyotlar

[1] Theory of Elastic Stability – Stephen P. Timoshenko va James M. Gere

[2] Theory of Elasticity – Lev Davidovich Landau va Evgeny M. Lifshitz

[3] Advanced Strength and Applied Elasticity – Ansel C. Ugural va Saul K.

[4] Mechanics of Materials – James M. Gere va Stephen P. Timoshenko

[5] Elastic Stability of Structures – Alexander Chajes

[6] Stability of Structures – Zdeněk P. Bažant va Luigi Cedolin

[7] Engineering Mechanics of Solids – Egor P. Popov

[8] Introduction to Solid Mechanics – Irving H. Shames

[9] Structural Stability of Steel – Theodore V. Galambos

[10] Nonlinear Solid Mechanics – Gerhard A. Holzapfel

PDFni ko'rish